tan90°无定义，因其代数式sin90°/cos90°=1/0分母为零；几何上邻边退化致比值失效；单位圆中横坐标为0使y/x无意义；极限显示左右侧分别趋于+∞与−∞。
如果您在计算或学习三角函数时遇到 tan90° 的取值问题，发现不同资料给出“不存在”“无穷大”“无定义”等表述，则需从函数定义与数学逻辑出发厘清其本质。以下是对此问题的系统性解析：
一、基于正切函数代数定义的分析
正切函数的严格代数定义为两三角函数之比：tanθ = sinθ / cosθ。该表达式成立的前提是分母 cosθ ≠ 0。当 θ = 90° 时，cos90° = 0，导致整个比值的分母为零。
1、将角度代入公式：tan90° = sin90° / cos90° = 1 / 0。
2、依据算术基本规则，任何非零实数除以零在实数域中均无定义。
3、因此，tan90° 不是一个实数，也不属于扩展实数系中的有效函数值。
二、基于直角三角形几何模型的验证
在经典几何语境中，tanθ 被解释为直角三角形中对边与邻边的长度比。该模型要求三角形存在且三个内角均为有效锐角或直角（但不能使邻边退化）。
1、设定一个含 θ 角的直角三角形，其中 θ 逐渐增大趋近 90°。
2、随着 θ → 90°，邻边长度持续缩短，最终收缩至零长度，三角形退化为一条竖直线段。
3、此时邻边为零，无法构成有效比值，几何定义失效。
三、基于单位圆坐标的推导
单位圆定义下，任意角 θ 对应圆上一点 (x, y)，满足 x = cosθ，y = sinθ，且 tanθ = y / x（x ≠ 0）。该定义将三角函数推广至任意实数角，但仍保留分母非零约束。
1、当 θ = 90° 时，对应点为 (0, 1)。
2、代入得 tan90° = y / x = 1 / 0。
3、横坐标 x = 0，导致比值在单位圆框架下同样无意义。
四、极限视角下的行为描述
尽管 tan90° 本身无定义，但可考察其在 90° 附近的单侧极限行为，用以理解函数图像的垂直渐近特征。
1、考虑 θ 从左侧趋近 90°（即 θ → 90°⁻），cosθ > 0 且趋近于 0⁺，sinθ → 1，故 tanθ → +∞。
2、考虑 θ 从右侧趋近 90°（即 θ → 90°⁺），在标准弧度制延伸中，cosθ
3、由于左右极限不相等且均发散，90° 处不存在有限极限，更无函数值可赋。
五、常见误解辨析
部分初学者误将“趋向无穷大”等同于“等于无穷大”，或将“无定义”混同于“结果为零”或“结果为一”。这些混淆源于未区分函数值、极限、以及扩展数系中的符号约定。
1、无穷大（∞）不是实数，而是描述变量增长无界性的记号，不能参与四则运算，也不能作为函数在某点的取值。
2、“tan90° = ∞”这一写法在严格数学文本中被视为不合法表达式。
3、所有权威数学教材与标准考试均将 tan90° 标注为“未定义”（undefined）或“无意义”。
