黄金分割比例精确值为(√5−1)/2≈0.618，由a/(a+b)=b/a推导得a²−ab−b²=0，解出a=b(1+√5)/2，代入得比值；或令k=a/(a+b)，得k²+k−1=0，正根即(−1+√5)/2。
黄金分割比例是一个具有严格数学定义的无理数，其精确值为(√5 − 1)/2。若将一条线段分为两部分，较长部分记为a、较短部分记为b，整体长度为a + b，则满足a/(a + b) = b/a。以下是推导该比值的具体步骤：
一、基于比例定义建立方程
设较长部分为a，较短部分为b，整体为a + b。根据黄金分割定义，有a/(a + b) = b/a。该等式表达了“较长部分与整体之比等于较短部分与较长部分之比”的核心关系。
1、对等式a/(a + b) = b/a进行交叉相乘，得a² = b(a + b)。
2、展开右侧：a² = ab + b²。
3、移项整理为标准一元二次方程形式：a² − ab − b² = 0。
4、将a视为未知数、b视为非零常数，代入求根公式：a = [b ± √(b² + 4b²)] / 2 = [b ± b√5] / 2。
5、因a > 0，取正号解：a = b(1 + √5)/2。
6、于是a/(a + b) = [b(1 + √5)/2] / [b(1 + √5)/2 + b] = (√5 − 1)/2 ≈ 0.618。
二、利用斐波那契数列逼近计算
斐波那契数列中相邻两项的比值会逐渐趋近于黄金分割比例。该数列从1、1开始，后续每一项均为前两项之和，即1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…
1、取数列中连续两项，如5与8，计算5/8 = 0.625。
2、取8与13，计算8/13 ≈ 0.61538。
3、取13与21，计算13/21 ≈ 0.61905。
4、取21与34，计算21/34 ≈ 0.61765。
5、取34与55，计算34/55 ≈ 0.61818。
6、取55与89，计算55/89 ≈ 0.61798。
7、取89与144，计算89/144 ≈ 0.61806。
三、通过解二次方程直接求根
令黄金分割比为k，即k = a/(a + b) = b/a。由b/a = k可得b = ak；代入a/(a + b) = k，得a/(a + ak) = k，化简为1/(1 + k) = k，即k² + k − 1 = 0。
1、写出标准形式：k² + k − 1 = 0。
2、计算判别式Δ = 1² − 4 × 1 × (−1) = 5。
3、代入求根公式：k = [−1 ± √5]/2。
4、因k > 0，取正根：k = (−1 + √5)/2。
5、数值计算：√5 ≈ 2.236067977，故k ≈ (−1 + 2.236067977)/2 = 1.236067977/2 ≈ 0.6180339885。
