基于动态规划的房屋花卉种植最小成本算法详解

本文探讨了如何高效解决N个房屋花卉种植的最小成本问题，其中每个房屋有三种花卉颜色选择，且相邻房屋不能种植同色花卉。针对传统暴力枚举方案在N较大时性能瓶颈，文章详细介绍了基于动态规划的优化算法，通过迭代计算每个房屋选择不同花卉颜色时的最小累积成本，有效避免了指数级复杂度，并提供了Python实现，包括如何回溯路径以获取具体花卉选择方案。

1. 问题描述与传统方法的局限性

在一条街道上有N个房屋，每个房屋的花园可以选择种植三种颜色（例如，白色、黄色、红色）中的一种花卉。我们获得了一个文件，其中包含了每个房屋种植每种花卉的成本。文件格式如下：

9 2 7
5 8 3
4 7 8
...
3 5 2

每一行代表一个房屋，每列代表一种花卉颜色（例如，第一列是白色，第二列是黄色，第三列是红色）。任务是找到一种花卉种植方案，使得所有房屋的总成本最低，同时必须满足一个关键约束：相邻的房屋不能种植相同颜色的花卉。

例如，对于四栋房屋的成本数据：

房屋\颜色   白 黄 红
H1              5 6 7
H2              3 7 9
H3              6 7 3
H4              1 8 4

满足规则的最低成本方案是：H1选择黄色 (6)，H2选择白色 (3)，H3选择红色 (3)，H4选择白色 (1)，总成本为 6+3+3+1 = 13。

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最初，一种常见的思路是使用暴力枚举法。例如，通过 itertools.product 生成所有 N 个房屋的 3^N 种颜色组合，然后过滤掉不符合相邻规则的组合，最后计算每种合法组合的总成本并找出最小值。然而，这种方法存在严重缺陷。当房屋数量 N 增大时（例如 N > 20），3^N 呈指数级增长，导致生成和处理所有组合所需的计算时间和内存资源呈指数级爆炸，程序将变得极其缓慢甚至崩溃。因此，我们需要一种更高效的算法。

2. 动态规划：高效解决策略

动态规划是一种通过将问题分解为相互重叠的子问题并存储子问题的解来避免重复计算的优化技术。对于房屋花卉种植问题，我们可以利用动态规划来高效地找到最小成本。

2.1 核心思想

动态规划的核心思想是：为了计算第 i 个房屋的最小成本，我们只需要知道第 i-1 个房屋的最小成本状态。具体来说，当我们决定第 i 个房屋种植某种颜色的花时，其成本将是该花色的价格加上第 i-1 个房屋选择其他两种颜色中较低的那个累计成本。

2.2 状态定义

我们可以定义一个状态来表示到某个房屋为止的最小成本： dp[i][color_index]：表示从第一个房屋到第 i 个房屋（索引从0开始）为止，且第 i 个房屋种植 color_index 颜色花卉时的最小累计成本。 其中 color_index

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