代码

function sum(a, b) {
    b = b | 1;
    return a >= 2 * b ? sum(a - b, b) + sum(a, b + 1) : a >= b ? 1 : 0;
}

展开版本：

function sum(a, b) {

    b = b || 1;     //当 b 未赋值，默认为 1
    
    if (a >= 2 * b) {
        return sum(a - b, b) + sum(a, b + 1);
    }else if (a >= b) {
        return 1;
    } else {
        return 0;
    }
}

解释

sum接收1个或两个参数：

1. 第一个参数是要求和的数字

2. 第二个参数是开始累加的数字（为了实现递归，将求和方式分解）

3. 为了避免重复，累加数字在累加过程中只增加、不减少，即测试的累加数列中后一项一定会大于或等于前一项

简单地说、把 sum(a, b) 的序列分成两部分：

• 第一个部分即由 b 开头，后接 sum(a-b, b) 的所有可能序列

• 第二个部分即由所有大于 b 的数字开头的和为 a 的序列，即 sum(a, b+1)

函数中第二个参数可能不好理解，这里举个例子：

sum(3); //求整数 3 的所有求和方式，等价于 sum(3,1);

sum(3,1) 计算后返回 sum(2,1) + sum(3,2)

• sum(2,1) 是 2 的所有求和方式，返回sum(a-b, b)的形式表示假定第一个累加的数字为b的值，所以从需要累加到的总和中减去b, 即sum(a-b, b)，计算后返回sum(1,1) + sum(2,2)

  • sum(1,1) 属于 a>=b && a<*2b 的情况（见下），返回 1，对应的累加序列为 1 + 1 + 1

  • sum(2,2) 同样属于 a>=b && a<2*b 的情况（见下），返回 1，对应的累加序列为 1 + 2

• sum(3,2)即sum(a, b + 1) 是 3 从大于等于 2 开始的所有求和方式（对应 a>=b && a<2*b的情况)

  • 假设第一个累加数字是 2 ，由于累加数字不减少，累加数列至少是 2 + 2 (即2*b，必定大于 a)，不符合要求

  • 在所有大于 2 的累加数中，仅有第一个累加数字为a、即 3 时，累加数列为 3 时符合要求，计一次有效的求和方式，返回 1

这就找到了 3 的所有求和方式：

• 1 + 1 + 1

• 1 + 2

• 3

目前这个函数效率不太高。计算 sum(100) 时需要等待较长时间，期待更好的解法

补充

递归固然写起来简单，理解容易，但是对电脑的负担是很重的
看 Dappur 的答案感觉所谓学习算法是很重要的，那些总结出的分析方法都是前人的智慧。

这里我将 Dappur 的答案翻译为 js，供题主参考：

function sum(n){
    var f =[[1],[]];
    for(var i=1; i<=n; f[++i]=[];){
        for(var j=1; j<=i; ++j)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j-1] || 0;
            if(i-j>0) f[i][j] += f[i-j][j] || 0;
        }
    }
    return f[n].reduce((a,b)=>a+b);
}

题主可自行对比尝试，对于较大的数字，真是快了一个数量级

我的思路一直卡在数列里出不来了。这个可以求出来一个数列公式把。比如斐波那契数列那种f(n)=f(n-1)+f(n-2）.