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基于物理信息的神经网络（PINN）是一种结合物理模型和神经网络的方法。通过将物理方法融入神经网络中，PINN可以学习非线性系统的动力学行为。相较于传统的基于物理模型的方法，PINN具有更高的灵活性和可扩展性。它可以自适应地学习复杂的非线性动力学系统，并同时满足物理规范的要求。本文将介绍PINN的基本原理，并提供一些实际应用示例。
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PINN的基础原理是将物理方法融入神经网络，以学习系统的动力学行为。具体来说，我们可以将物理方法表示为以下形式：
F(u(x),\frac{\partial u}{\partial x},x,t)=0
我们的目标是通过学习系统状态变化u(x)的时间演化以及系统周边的边界条件，来实现对系统行为的理解。为了达到这个目标，我们可以利用神经网络模拟状态变化u(x)的发展，并使用自动微分技术计算状态变化的梯度。同时，我们还可以使用物理方法来约束神经网络与状态变化之间的关系。这样，我们就能够更好地理解系统的状态演化和预测未来的变化。
具体而言，我们可以使用如下的损失函数来训练PINN：
L_{pinn}=L_{数据}+L_{物理}
其中L_{data}是数据丢失，用于模拟已经知道的状态变化值。通常，我们可以使用均方误差来确定义L_{data}：
L_{data}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(u_i-u_{data,i})^2
其中$N$是数据集中的样本数，u_i是神经网络预测的状态变化值，u_{data,i}是数据集中对应的真实状态变化值。
L_{physics}是物理约束损失，使用于保证神经网络和状态变化满足物理方法。通常，我们可以使用残差数来确定义L_{物理}：
L_{物理}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(F(u_i,\frac{\partial u_i}{\partial x},x_i,t_i))^2
其中F是物理方法，\frac{\partial u_i}{\partial x}是神经网络预测的状态变化量的坡度，x_i和t_i是类似本i的空间和时间坐标。
通过最小化L_{pinn}，我们可以以同时模拟数据和满足物理方法，从而学习系统的动力学行为。
现在我们来看一些现实的PINN的演示。其中一个典型的例子是学习Navier-Stokes方法的动力学行为。Navier-Stokes方法描述了流体的运动行为，它可以写成如下的形式：
\rho(\frac{\partial u}{\partial t}+u\cdot\nabla u)=-\nabla p+\mu\nabla^2u+f
其中\rho是流体的密度，u是流体的速度，p是流体的压力，\mu是流体的密度，f是外部力。我们的目标是学习流体的速度和压力的时间演化，以及在流体边界上的边界条件。
为了实现这一目标，我们可以将Navier-Stokes方法填入神经网络中，以方便学习速度和压力的时间演化。具体而言，我们可以使用如下的损失败数来训练PINN：
L_{pinn}=L_{数据}+L_{物理}
其中L_{data}和L_{physics}的定义与前文相同。我们可以使用流体力学模型生成一组包含速度和压力的状态变量数据，然后使用PINN来模拟状态变化和满足Navier-Stokes方法。这样，我们就可以以学习流动体的动力学行为，包括湿流、涡旋和边界层等现象，而无需先确定正义复杂的物理模型或者手工推导解析。
另外一个例子是学习非线性波运动方法的运动学行为。非线性波运动方法描述了波运动在介绍中的传播行为，它可以写成如下的形式：
\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-c^2\nabla^2u+f(u)=0
其中u是波速的幅度，c是波速，f(u)是非线性质的项目。我们的目标是学习波动态的时间演化和在介绍边界上的边界条件。
为了实现这一目标，我们可以将非线性波过程纳入神经网络中，以方便学习波运动的时代演化。具体而言，我们可以使用如下的损毁数来训练PINN：
L_{pinn}=L_{数据}+L_{物理}
其中L_{data}和L_{physics}的定义与前文相同。我们可以使用数值方法生成一组包含波幅和台阶的状态变化数据，然后用PINN来模拟状态变化量和满足非线性波动方法。这样，我们就可以学习波动在介质中的时间演化，包括波包的形状变化、折射和反射等现象，而无需先定义复杂的物理模型或手工推导解析。
总之，基于物理信息的神经网络是一种结合物理模型和神经网络的方法，它可以适应地球学习复杂的非线动力学系统，同时保持对物理规律的严格满足。PINN已被广泛应用于流体力学、声学、结构力学等领域，并取得了一些显着的结果。未来，随着神经网络和自动化微分技术的不发展，PINN将有希望成为一种更大更强更通用的工具，用于解决各种非线性动力学问题。
