一道函数单调性题

一道函数单调性题

1))g(x)=x有两个不等的实根

(bx-1)/(a^2x+2b)=x

b^2- 4a^2>0

b的绝对值 > 2a 的绝对值

当a>0时，b>2a

f(x)图象开口向上， 对称轴x= - b/2a

所以f(x) 在（-1，正无穷）为增函数

所以f(x) 在（-1,+1）为增函数

当a

f(x)图象开口向下， 对称轴x= -b/2a >1

所以f(x) 在（负无穷，1，）为增函数

所以f(x) 在（-1,+1）为增函数

综上，f(x)在（-1,1）上是单调增函数

2.x3

a根（b^2-4a）>根（b^2-4a^2）>-根（b^2-4a^2）>-a根（b^2-4a）.

可见必须a>0， 则a^2(b^2-4a)>b^2-4a^2 .

(a-1)[b^2(a+1)-4a^2]>0 .

a>1， 或a0）.

所以，a>1

函数单调性练

1.设y=f(x)是R上的减函数，y=f(IX-3I)的单调递减区间

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设函数u=IX-3I,x∈R，它在（-∞，3]上单调递减，那么y=f(u)=f(IX-3I)在（-∞，3]上单调递增；

函数u=IX-3I,x∈R，它在[3，+∞）上单调递增，那么y=f(u)=f(IX-3I)在[3，∞）上单调递减；

即函数y=f(IX-3I)的单调递减区间是[3，∞）

-------------不理解的话，换个说法：

x1│x2-3│，f（│x1-3│）

3

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已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x，试f(x)的解析式

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不妨设二次函数f(x)=ax^2+bx+c

由f(0)=1得c=1

所以，f(x)=ax^2+bx+1

所以f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+1

f(x)=ax^2+bx+1

所以f(x+1)-f(x)=2ax+a+b

已知f(x+1)-f(x)=2x

那么关于x的多项式2ax+a+b与2x相等，其系数相等

故有a=1，且a+b=0，则b=-1

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f(x)=x^2-x+1

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2.已知定义在[1,4]上的函数f(x)是减函数，满足不等式f(1-2a)-f(4+a)>0的实数a集合

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把不等式变为f(1-2a)>f(4+a)，利用函数的单调性甩掉对应法则f时，要注意函数的定义域

函数f(x)的定义域是[1,4]，又是减函数，那么实数a同时满足下面三个不等式：

1

1

1-2a

解不等式组，得：-1

所以，所实数a的取值范围是（-1,0]

对照第2题，请你自己做第3题.......

问一个二次函数和单调性的问题

1）解析：∵对称轴是X=-1的二次函数y=f(x)在R上的最小值是0，且f(1)=1

设函数f(x)=ax^2+bx+c=a(x+b/(2a))^2+(4ac-b^2)/4a

∴a>0,-b/(2a)=-1==>b=2a,(4ac-b^2)/4a=0==>4ac=b^2

∴4ac=4a^2==>c=a

又a+b+c=1==>4a=1==>a=1/4,b=1/2,c=1/4

∴函数的解析式为f(x)=1/4x^2+1/2x+1/4

2）若g(x)=(z+1)f(z-1)-zx-3在X属于[-1,1]上是增函数，实数z的取值范围

解析：由1)f(x)=1/4x^2+1/2x+1/4

f(x-1)=1/4x^2-1/2x+1/4+1/2x-1/2+1/4=1/4x^2

g(x)=(z+1)1/4x^2-zx-3=(z+1)/4{[x-2z/(z+1)]^2-[(4z^2+12z+12)/(z+1)^2]}

=(z+1)/4[x-2z/(z+1)]^2-(z^2+3z+3)/(z+1)

∵g(x)在X属于[-1,1]上是增函数

当（z+1）/4>0==>z>-1时

∴2z/(z+1)2zz

∴-1

当（z+1）/4z

∴2z/(z+1)>=1==>2zz>=1，显然与z

当（z+1）/4=0==>z=-1时

∴g(x)=x-3，显然g(x) 在X属于[-1,1]上是增函数

综上，满足g(x) 在X属于[-1,1]上是增函数，-1

3）最大的实数m(m大于1)，使得存在实数t，只要X属于[1,m]，就有f(x+t)小于等于x成立

解析：由1)f(x)=1/4x^2+1/2x+1/4

f(x+t)=1/4(x+t+1)^2

(x+t+1)^2

x^2+2(t-1)x+(t+1)^2

当t=0时，x^2-2x+1x=1

当t>0时，⊿=4(t-1)^2-4(t+1)^2=-16t

当t0

x1=(1-t)-2√（-t）, x2=(1-t)+2√（-t）

令（1-t）+2√（-t）=1==>t=-4

∴m=x2=(1-t)+2√（-t）=9

∴存在实数t=-4，只要X属于[1,9]，就有f(x-4t)小于等于x成立.