幸运数字 - 它是 m > 1 的最小整数，对于给定的正整数 n，pn# + m 是素数，其中 pn# 是第一个 n 的乘积质数。
例如，要计算第三个幸运数字，首先计算前 3 个素数 (2, 3, 5) 的乘积，即 30。加 2 后得到 32，这是偶数，加 3 得到 33，是 3 的倍数。同样可以排除 6 以内的整数。加上 7 得到 37，这是一个素数。因此，7是第三个幸运数字。
第一个原初数的幸运数字是 -
3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47, 107, 59, 61, 109 ….
问题陈述
给定一个数字n。找到第 n 个幸运数字。
示例 1
Input: n = 3
Output: 7
解释 - 前 3 个价格数字的乘积 -
2 3 5 = 30 30 + 7 = 37, a prime number.
示例 2
Input: n = 7
Output: 19
解释 - 前 7 个素数的乘积 -
2 3 5 7 11 13 17 = 510510 510510 + 19 = 510529, a prime number.
方法一：原始方法
解决该问题的一个简单方法是首先计算 pn#，即前 n 个素数的乘积，然后找到 pn# 与下一个素数之间的差。获得的差额将是一个幸运的数字。
伪代码
procedure prime (num)
if num <= 1
ans = TRUE
end if
for i = 2 to sqrt(num)
if i is a factor of num
ans = false
end if
ans = true
end procedure
procedure nthFortunate (n)
prod = 1
count = 0
for i = 2 to count < n
if i is prime
prod = prod * i
count = count + 1
end if
nextPrime = prod + 2
while nextPrime is not prime
nextPrime = next Prime + 1
ans = nextPrime - prod
end procedure
示例：C++ 实现
在下面的程序中，通过计算前n个素数的本初以及找到本初后的下一个素数来计算幸运数。幸运数是下一个素数与本初数之间的差。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// Function to find if a number is prime or not
bool prime(unsigned long long int num){
if (num <= 1)
return true;
for (int i = 2; i <= sqrt(num); i++){
if (num % i == 0)
return false;
}
return true;
}
// Function to find the nth Fortunate number
unsigned long long int nthFortunate(int n){
long long int prod = 1, count = 0;
// Calculating product/primorial of first n prime numbers
for (int i = 2; count < n; i++){
if (prime(i)){
prod *= i;
count++;
}
}
// Find the next prime greater than the product of n prime numbers
unsigned long long int nextPrime = prod + 2;
while (!prime(nextPrime)){
nextPrime++;
}
// Fortunate number is the difference between prime and primorial
unsigned long long int ans = nextPrime - prod;
return ans;
}
int main(){
int n = 15;
cout << n << "th Fortunate number : " << nthFortunate(n);
return 0;
}
输出
15th Fortunate number : 107
时间复杂度 - O(nsqrt(n))，其中 prime() 函数的复杂度为 O(sqrt(n))，nthFortunate() 中的 for 循环的复杂度为 O(nsqrt(n))。
空间复杂度 - O(1)
方法 2：埃拉托斯特尼筛法
埃拉托色尼筛用于将所有质数达到一个极限，我们将给出一个值 MAX。在这种方法中，我们创建一个包含所有 true 条目的布尔数组，并将所有非素数索引标记为 false。然后将数组中的前 n 个素数相乘，得到前 n 个素数的乘积。然后与之前的方法类似，从 2 开始将乘积加 1，以获得下一个素数。下一个素数与乘积之差就是所需的幸运数。
伪代码
procedure nthFortunate (n)
MAX is set
prime[MAX] = {true}
prime[0] = false
prime[1] = false
for i = 1 to i*i <= MAX
if prime[i]
for j = i*i to MAX with j = j + i in each iteration
prime [j] = false
end if
prod = 1
count = 0
for i = 2 to count < n
if prime[i]
prod = prod * i
count = count + 1
end if
nextPrime = prod + 2
while nextPrime is not prime
nextPrime = nextPrime + 1
ans = nextPrime - prod
end procedure
示例：C++ 实现
在下面的程序中，大小为 MAX 的布尔素数数组记录了 MAX 之前的所有素数。然后通过将前 n 个素数相乘来找到原初。然后与之前的方法类似，找到nextPrime。 nextPrime 和 Product 的区别在于幸运数字。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// Function to find the nth Fortunate number
unsigned long long int nthFortunate(int n){
// Setting upper limit for Sieve of Eratosthenes
const unsigned long long int MAX = 1000000000;
vector<bool> prime(MAX, true);
prime[0] = prime[1] = false;
// Sieve of Eratosthenes to find all primes up to MAX
for (unsigned long long int i = 2; i * i <= MAX; i++){
if (prime[i]){
// Setting all the multiples of i to false
for (int j = i * i; j <= MAX; j += i){
prime[j] = false;
}
}
}
// Find the first n primes and calculate their product
unsigned long long int prod = 1, count = 0;
for (unsigned long long int i = 2; count < n; i++){
if (prime[i]){
prod *= i;
count++;
}
}
// Find next prime greater than product
unsigned long long int nextPrime = prod + 2;
while (!prime[nextPrime])
nextPrime++;
// Fortunate number is difference between prime and product
return nextPrime - prod;
}
int main(){
int n = 25;
cout << n << "th Fortunate number : " << nthFortunate(n);
return 0;
}
输出
15th Fortunate number : 107
时间复杂度 - O(n log(log(n)))
空间复杂度 - O(MAX)
结论
综上所述，第n个幸运数可以通过以下两种方式找到。
初等方法：求前n个素数的乘积，并根据乘积计算下一个素数。质数与乘积之差是第 n 个幸运数。
埃拉托斯特尼筛法：找出所有达到某个极限的素数，然后计算与下一个素数的乘积，从而找到幸运数。
仅由于变量大小的限制，这两种方法对于较小的 n 值都是有效的。对于更大的值，需要更高效和优化的解决方案。
