一维前缀和中sum[i]表示前i个元素（arr[0]到arr[i-1]）的和，即sum[0]=0；二维同理，sumi表示从(0,0)到(i-1,j-1)的子矩阵和，均需n+1/m+1大小避免越界。
一维前缀和：用 vector 预处理，sum[i] 表示前 i 项和还是前 i+1 项？
关键在索引对齐——绝大多数人写错就卡在这一步。标准做法是让 sum[0] = 0，sum[i] 表示原数组 arr[0] 到 arr[i-1] 的和（即前 i 个元素）。这样区间 [l, r] 的和就是 sum[r+1] - sum[l]，不用特判边界。
常见错误现象：sum[r] - sum[l-1] 导致越界或漏算第一个元素；或者初始化 sum[0] = arr[0] 后强行套公式，结果 l=0 时访问 sum[-1]。
- 初始化：先
sum.resize(n + 1)，再循环i从1到n，赋值sum[i] = sum[i-1] + arr[i-1] - 查询：闭区间
[l, r]（0-indexed）对应sum[r+1] - sum[l] - 别用
int sum[n+1]在栈上开大数组——n 大时可能栈溢出，一律用vector
二维前缀和：sum[i][j] 的定义必须包含左上角 (0,0) 吗？
必须。二维前缀和本质是容斥，sum[i][j] 必须定义为从 (0,0) 到 (i-1,j-1) 子矩阵的和（即前 i 行、前 j 列），否则容斥公式 sum[r2+1][c2+1] - sum[r1][c2+1] - sum[r2+1][c1] + sum[r1][c1] 不成立。
使用场景：频繁查矩形区域和，比如图像积分图、子矩阵最大和预处理。
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- 构建时循环从
i=1,j=1开始，sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + mat[i-1][j-1] - 查
[r1, r2] × [c1, c2]（全闭，0-indexed）：结果是sum[r2+1][c2+1] - sum[r1][c2+1] - sum[r2+1][c1] + sum[r1][c1] - 别省略
+1偏移——哪怕只查单点(i,j)，也要写成sum[i+1][j+1] - sum[i][j+1] - sum[i+1][j] + sum[i][j]
修改操作来了怎么办？原生前缀和还顶得住吗？
顶不住。update(i, delta) 会破坏所有依赖 arr[i] 的前缀和项，朴素重算复杂度 O(n)，失去预处理意义。
这时候该换数据结构：单点改 + 区间查，std::vector 前缀和就不合适了，得上 fenwick_tree（树状数组）或 segment_tree（线段树）。
- 如果只有批量建表 + 大量查询，坚持用前缀和，别硬加 update
- 如果真要动态改，用
fenwick_tree：代码短、常数小、支持单点改 + 前缀查，再组合出区间查 - 别试图在原前缀和数组上做“局部修复”——逻辑绕、易错，且没性能优势
边界检查和数据类型：为什么算着算着变成负数或极大值？
两个坑最隐蔽：一是下标越界读了未初始化内存（尤其二维 sum 开 [n][m] 却按 n+1 行访问），二是整数溢出——前缀和增长快，int 很容易爆。
错误信息如 AddressSanitizer: heap-buffer-overflow 或结果异常大/负，大概率是这两个问题。
- 二维
sum至少开(n+1) × (m+1)，别少加 1 - 原始数组元素范围若达
1e5，长度1e5，前缀和峰值可达1e10，必须用long long - 调试时打一行
cout 看前几项是否符合预期，比瞎猜快得多
实际写的时候，最容易被忽略的是二维容斥公式的四个角偏移量——它不像一维那样直觉，每次手写都值得默念一遍：右下、左下、右上、左上，对应的是 r2+1,c2+1、r1,c2+1、r2+1,c1、r1,c1。
