本文讲解五种求解策略：代数变形、三角换元、中值设定、判别式判定以及不等式放缩，旨在解决在约束条件 $x^2 + y^2 = 2$ 下，表达式 $(x - y)^2$ 的最大值问题。
1、依据题设关系，构建以 $x - y$ 或其平方为核心的不等式体系，借助恒等变形技巧，推导出 $x - y$ 的上界。
2、采用三角函数代换，将笛卡尔坐标中的变量 $x$、$y$ 转化为极坐标形式 $x = \sqrt{2}\cos\theta$、$y = \sqrt{2}\sin\theta$，利用正余弦函数的有界性，研究 $x - y$ 的可能取值区间，进而确定其最大值。
3、令 $x - y = t$，将其与约束条件联立，消元后得到关于某一变量的二次方程；由实数解存在性要求，判别式 $\Delta \geq 0$，由此导出关于 $t$ 的不等式，解之即可得 $t$ 的最大允许值。
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4、引入辅助参数 $t$，分别设 $x$ 与 $y$ 为含 $t$ 的表达式（如对称设定），再代入原始约束，解出 $x$、$y$ 关于 $t$ 的显式形式，代入目标式 $(x - y)^2$ 后，分析该式随 $t$ 变化的极值情况。
5、运用基本不等式 $x^2 + y^2 \geq 2|xy|$，对 $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ 进行等价转化，结合约束条件，估算其可能达到的最大值。
6、判别式法是中学数学中极为关键的解题手段，常见于最值与值域求解、不等式证明及含参问题分析之中；深入理解并灵活运用此法，有助于显著增强逻辑推理与综合解题能力。
