单射但非满射的函数指不同输入对应不同输出，但输出未覆盖整个陪域；如f: ℕ → ℕ, f(n) = n + 1，满足单射（n₁ ≠ n₂ ⇒ f(n₁) ≠ f(n₂)），但1无原像，故非满射。
当一个函数满足“不同输入对应不同输出”，但其输出并未覆盖整个目标集合时，就属于只有单射没有满射的情形。以下是对此类情况的详细说明与实例：
一、单射的定义与判定方法
单射要求定义域中任意两个不同元素，其函数值也互不相同。即若x₁ ≠ x₂，则必有f(x₁) ≠ f(x₂)；等价地，若f(x₁) = f(x₂)，则可推出x₁ = x₂。该性质保证了函数在输入端具有“一一区分”的能力，但不强制输出填满整个陪域。
1、取函数f: ℕ → ℕ，定义为f(n) = n + 1。
2、验证：对任意n₁, n₂ ∈ ℕ，若n₁ ≠ n₂，则n₁ + 1 ≠ n₂ + 1，故f(n₁) ≠ f(n₂)。
3、观察陪域ℕ中元素1：不存在n ∈ ℕ使得f(n) = 1，因为最小输出为f(1) = 2。
4、因此该函数是单射但非满射。
二、满射的定义与判定方法
满射关注的是函数值是否完全覆盖陪域B，即对B中每一个y，都至少存在一个x ∈ A使得f(x) = y。它不要求x唯一，允许多个原像映射到同一y，但绝不允许陪域中出现“未被抵达”的元素。
1、取函数g: ℤ → ℕ ∪ {0}，定义为g(z) = |z|。
2、对任一非负整数y，总存在z = y或z = −y满足g(z) = y。
3、因此g的值域等于陪域ℕ ∪ {0}。
4、但g(1) = g(−1) = 1，故不满足单射条件。
5、因此该函数是满射但非单射。
三、仅单射非满射的典型函数实例
此类函数在定义域受限或陪域过大时常见，核心特征是“无重复输出”但“有遗漏目标值”。以下为三个独立构造的实例：
1、函数h₁: ℕ → ℤ，h₁(n) = 2n。每个自然数n映射为唯一的偶数，且不同n产生不同偶数；但所有奇数和负数均不在值域中，故是单射，非满射。
2、函数h₂: ℝ⁺ → ℝ，h₂(x) = ln x。在正实数上严格单调增，故x₁ ≠ x₂ ⇒ ln x₁ ≠ ln x₂；但ln x的值域为ℝ，而此处陪域也是ℝ，需注意：此例实际为双射。更正为h₂: ℕ → ℝ，h₂(n) = ln n，则值域为{ln 1, ln 2, ln 3, …} ⊂ ℝ，存在大量实数（如0.5、π）无原像，故是单射，非满射。
3、函数h₃: {a, b, c} → {1, 2, 3, 4}，h₃(a)=1, h₃(b)=2, h₃(c)=3。定义域含3个元素，陪域含4个元素；所有输出互异，但元素4无原像，故是单射，非满射。
四、图像与集合关系辅助理解
在箭头图中，单射体现为从定义域出发的每条箭头终点互不重合；满射体现为陪域中每个元素至少有一条箭头指向它。若某陪域元素无箭头抵达，即破坏满射；若两定义域元素共指一陪域元素，即破坏单射。
1、画出集合A = {1, 2, 3}与B = {a, b, c, d}之间的映射：1→a, 2→b, 3→c。
2、检查A中元素映射终点：a, b, c互异，满足单射条件。
3、检查B中元素是否全被覆盖：d无任何输入指向，不满足满射条件。
4、因此该映射是单射而非满射。
五、代数验证单射但非满射的步骤
对给定函数f: A → B，需分步验证其单射性并证伪满射性，不可仅依赖直觉。
1、假设f(x₁) = f(x₂)，通过代数运算推导出x₁ = x₂，确认单射成立。
2、选取一个具体y₀ ∈ B，证明方程f(x) = y₀在A中无解（例如解得x不在定义域内、或解为复数而A为实数集）。
3、举例：f: ℕ → ℚ，f(n) = 1/n。若1/n₁ = 1/n₂，则n₁ = n₂，故为单射；但y₀ = 2 ∈ ℚ，解1/n = 2得n = 1/2 ∉ ℕ，故无原像。
4、因此f是单射但非满射。
