本文详解如何正确统计二进制数组中和等于目标值 goal 的非空连续子数组数量，重点解决滑动窗口法在全零数组等边界场景下的漏解问题，并给出基于“零间隙建模”的线性时间最优解。
本文详解如何正确统计二进制数组中和等于目标值 `goal` 的非空连续子数组数量，重点解决滑动窗口法在全零数组等边界场景下的漏解问题，并给出基于“零间隙建模”的线性时间最优解。
传统双指针滑动窗口方法（如题中代码所示）在处理 goal = 0 或存在连续零段时极易失效——其根本原因在于：当 sumSoFar == goal 时，仅单向移动 i 或 j 会破坏对“同一和值下多组左右扩展组合”的完整枚举。例如对 nums = [0,0,0,0,0]、goal = 0，合法子数组共 15 个（即长度为 1~5 的所有连续子数组），但原逻辑因无法回溯或并行探索左右延展空间而仅统计出 10 个。
真正稳健的解法需跳出“维护实时和”的思维定式，转而挖掘二进制数组的结构本质：所有满足 sum == goal 的子数组，必然恰好包含 goal 个 1，且其左右边界可自由延伸至相邻 1 之间的零段中。
由此导出核心策略——零间隙建模（Zero-Gap Modeling）：
- 预处理生成 gaps 数组：记录每两个相邻 1 之间的零元素数量（含边界）。具体地，gaps[0] 表示首个 1 左侧的零个数 + 1（即以索引 0 开始的可选起点数）；gaps[i]（i > 0）表示第 i-1 个 1 与第 i 个 1 之间零个数 + 1（即跨过第 i-1 个 1 后，新子数组可选的左起点偏移数）；末尾 gaps[-1] 表示最后一个 1 右侧零个数 + 1（即右边界可选的终点数）。
- 当 goal > 0：每个合法子数组由某 goal 个连续的 1（即从第 k 个到第 k+goal-1 个）及其两侧零段构成。左侧可选起点数 = gaps[k]，右侧可选终点数 = gaps[k + goal]，贡献子数组数为二者乘积。遍历所有可能的 k 并求和即可。
- 当 goal == 0：子数组内不能含任何 1，故只能取纯零段。对每个长度为 L 的连续零段（对应 gaps[i] = L + 1），其内部非空子数组数为三角形数 L × (L + 1) / 2 = (gaps[i] - 1) × gaps[i] / 2。
以下是该思路的 Python 实现：
class Solution:
def numSubarraysWithSum(self, nums, goal):
# 步骤1：构建gaps数组 —— 记录每个'1'左侧（及末尾）的可选起始/结束位置数
gaps = []
j = 0 # 上一个1出现后的下一个位置（初始为0）
for i, val in enumerate(nums):
if val == 1:
gaps.append(i - j + 1) # 当前1左侧有(i-j)个0，故有(i-j+1)种左边界选择
j = i + 1
gaps.append(len(nums) - j + 1) # 最后一个1右侧的零段+1
# 步骤2：分情况计算
if goal == 0:
# 对每个零段：长度L = gap-1，子数组数 = L*(L+1)//2
return sum((gap - 1) * gap // 2 for gap in gaps)
else:
# 滑动长度为goal的窗口：gaps[k] * gaps[k+goal] 表示覆盖第k到k+goal-1个1的方案数
return sum(before * after for before, after in zip(gaps, gaps[goal:]))✅ 关键优势：
- 时间复杂度 O(n)，空间 O(m)（m 为 1 的个数），远优于暴力 O(n²)；
- 天然规避所有边界陷阱（全零、前缀零、后缀零、零散零）；
- 逻辑清晰可验证：gaps 数组将问题完全转化为组合数学问题。
⚠️ 注意事项：
- gaps 的构造必须严格遵循“1 左侧可选起点数”定义，+1 不可遗漏；
- goal == 0 时切勿复用 goal > 0 的逻辑（会导致 zip(gaps, gaps[0:]) 退化为自乘，严重高估）；
- 若 goal 大于数组中 1 的总数，gaps[goal:] 为空，sum(...) 自然返回 0，无需额外判断。
此方法不仅解决了题目中的 edge case，更揭示了二进制子数组问题的结构化解题范式：将数值约束转化为位置组合，用间隙模型替代动态和维护——这是应对类似 LeetCode #930、#1248 等问题的通用钥匙。
