is_prime函数需正确处理边界：小于2的数非素数，2是素数，偶数中仅2为素数；常见错误是遗漏n==2特判或误判n≤1情况。
判断单个整数是否为素数：用 is_prime 函数最稳妥
直接写循环试除是最常用、最易理解的方式。关键不是“快”，而是“不漏判、不误判”。is_prime 必须正确处理边界：小于 2 的数（如 0、1、负数）一律不是素数；2 是最小的素数；偶数中只有 2 是素数。
常见错误是忘记 n == 2 的特判，或把 n 写成 <code>n （漏掉 1），又或者循环上限写成 <code>i 导致超时。
- 只试除到
sqrt(n)，用i * i 避免浮点误差和类型转换 - 先特判
n 和 <code>n == 2，再排除所有偶数（n % 2 == 0） - 后续只检查奇数因子：从 3 开始，步长为 2
bool is_prime(int n) {
if (n < 2) return false;
if (n == 2) return true;
if (n % 2 == 0) return false;
for (int i = 3; i * i <= n; i += 2) {
if (n % i == 0) return false;
}
return true;
}批量求 [2, N] 内所有素数：用埃氏筛（sieve_of_eratosthenes）
当需要判断多个数、或列出一段区间内全部素数时，挨个调用 is_prime 效率极低。埃氏筛是 C++ 中最实用的预处理方案，时间复杂度约 O(N log log N)，空间 O(N)。
容易踩的坑包括：数组开小了（下标越界）、没初始化为 true、内层循环从 i * i 开始却未考虑溢出、标记时用了 i + i 而非 i * i 导致重复工作。
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- 布尔数组大小至少为
N + 1，索引 0～N 对应数字 0～N -
prime[0] = prime[1] = false必须显式设置 - 外层循环只需到
sqrt(N)，但建议写成i * i - 内层循环起始点是
i * i，不是2 * i（前者跳过已筛过的合数）
vector<bool> sieve_of_eratosthenes(int N) {
vector<bool> prime(N + 1, true);
prime[0] = prime[1] = false;
for (int i = 2; i * i <= N; ++i) {
if (prime[i]) {
for (int j = i * i; j <= N; j += i) {
prime[j] = false;
}
}
}
return prime;
}大数（如 long long）素数判断：用 Miller-Rabin 概率算法
当 n 达到 1e12 以上，试除法就不可行了。C++ 标准库没有内置 Miller-Rabin，但可用几个固定底数（如 2, 3, 5, 7, 61）实现对 unsigned long long 范围内确定性判断（即 100% 正确）。
难点在快速幂模运算中防止乘法溢出：必须用 __uint128_t（GCC 扩展）或手写 mul_mod 函数做模乘。否则 a * b % mod 在 a,b 接近 1e18 时直接溢出。
- 对
n ，用底数 {2, 3, 5, 7, 61, 24251} 可完全确定 - 实际工程中，前 6 个底数已覆盖全部
unsigned long long范围 - 不要用随机底数——确定性场景下，固定底数更快更稳
常见误用与性能陷阱
很多人一上来就用 sqrt(n) 函数，但它返回 double，对大整数有精度丢失；还有人写 for (int i = 2; i ，每次循环都重新算 sqrt，既慢又错。
- 永远用
i * i 替代 <code>i - 避免在循环条件里调用任何函数（尤其是浮点函数）
- 用
int判断时注意n最大只能到约 2e9，超过要用long long并同步改循环变量类型 - STL 容器如
vector<bool></bool>是位压缩特化，访问慢于vector<char></char>，高频筛素数时可考虑后者
真正难的不是写出一个能跑的版本，而是让边界、类型、溢出、性能这四件事同时不出错。尤其在竞赛或嵌入式环境里，少一个 long long 或多一次隐式转换，就可能卡在某个大样例上。
