1. 理解“逆序对”问题
在数组处理中，我们有时需要识别那些不符合特定排序规则的元素对。本教程关注的是一种特定类型的“逆序对”：如果一个数组中存在一对元素 (hs[i], hs[j])，其中 i
示例：
- 对于数组 hs = [7, 3, 5, 4, 1]：
- (3, 5)：3 小于 5，且 3 在 5 之前。这是一个逆序对。
- (3, 4)：3 小于 4，且 3 在 4 之前。这是一个逆序对。
- 总计 2 个逆序对。
- 对于数组 hs = [8, 5, 6, 7, 2, 1]：
- (5, 6)：5 小于 6。
- (5, 7)：5 小于 7。
- (6, 7)：6 小于 7。
- 总计 3 个逆序对。
2. 朴素的双循环解法
最直观的解决方案是使用嵌套循环遍历数组中的所有可能元素对。外层循环固定一个元素 hs[i]，内层循环检查 hs[i] 之后的所有元素 hs[j]（其中 j > i），如果 hs[i]
Java 实现：
public static int countBaadBruteForce(int[] hs) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < hs.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < hs.length; j++) {
// 比较当前位置 hs[i] 与其之后的所有位置 hs[j]
if (hs[i] < hs[j]) {
// System.out.println("Found bad number pair: (" + hs[i] + "," + hs[j] + ")");
count++;
}
}
}
return count;
}示例调用及输出：
System.out.println(countBaadBruteForce(new int[]{7, 3, 5, 4, 1})); // 输出: 2
System.out.println(countBaadBruteForce(new int[]{8, 5, 6, 7, 2, 1})); // 输出: 3复杂度分析： 这种方法的平均和最坏时间复杂度为 O(N^2)，其中 N 是数组的长度。对于大规模数据集，这种方法效率低下。
3. 利用归并排序优化逆序对计数
为了提高效率，我们可以利用归并排序（Merge Sort）的特性。归并排序是一种分治算法，它将数组递归地分成两半，分别排序，然后将两个已排序的子数组合并。在合并过程中，我们可以巧妙地统计逆序对。这种方法可以将时间复杂度降低到 O(N log N)。
3.1 归并排序基本原理回顾
归并排序的核心思想是：
- 分解（Divide）： 将待排序数组从中间分成两个子数组。
- 解决（Conquer）： 递归地对这两个子数组进行排序。
- 合并（Combine）： 将两个已排序的子数组合并成一个完整的有序数组。
3.2 改造合并过程以统计逆序对
关键在于“合并”阶段。假设我们有两个已经分别按降序排列的子数组 L 和 R。在将它们合并回原数组 A 的过程中，我们比较 L 的当前元素 l[lIdx] 和 R 的当前元素 r[rIdx]：
-
情况一：l[lIdx] >= r[rIdx]
- 这意味着 l[lIdx] 已经比 r[rIdx] 大或相等，符合降序排列的趋势。我们将其放入合并后的数组 A 中，并移动 L 的指针 lIdx。此时不产生新的逆序对。
-
情况二：l[lIdx]
- 这意味着 l[lIdx] 比 r[rIdx] 小，但 l[lIdx] 来自于原数组中 r[rIdx] 之前的位置（因为 L 和 R 是由原数组分割而来的，L 中的元素都在 R 中的元素之前）。
- 因此，l[lIdx] 和 r[rIdx] 构成一个逆序对。
- 更重要的是，由于 L 数组已经按降序排列，l[lIdx] 之后的元素（即 l[lIdx+1], l[lIdx+2], ..., l[l.length-1]）都比 l[lIdx] 小或相等。这意味着所有这些剩余的 L 数组元素也都小于 r[rIdx]。
- 所以，当 l[lIdx]
- 我们将 r[rIdx] 放入合并后的数组 A 中，并移动 R 的指针 rIdx，同时将 (l.length - lIdx) 加到总逆序对计数中。
3.3 递归累积计数
归并排序的 mergeSort 函数需要修改为返回逆序对的总数。这意味着每次递归调用 mergeSort 时，不仅要对子数组进行排序，还要将子数组内部产生的逆序对以及在合并两个子数组时产生的逆序对累加起来。
4. 完整的 Java 实现
为了避免修改原始输入数组的副作用，我们首先对输入数组进行复制。
import java.util.Arrays;
public class InversionCounter {
/**
* 入口函数：计算数组中的逆序对。
* 为了避免修改原始数组，先进行数组复制。
*
* @param hs 输入数组
* @return 逆序对的数量
*/
public static int countBaad(int[] hs) {
// 复制数组以避免修改原始输入
int[] copiedArray = Arrays.copyOf(hs, hs.length);
return mergeSortAndCountInversions(copiedArray, copiedArray.length);
}
/**
* 归并排序并统计逆序对的递归函数。
* 此方法会原地修改传入的数组，将其按降序排序。
*
* @param a 待处理数组
* @param n 数组长度
* @return 当前子问题中的逆序对数量
*/
private static int mergeSortAndCountInversions(int[] a, int n) {
// 基本情况：如果数组只有一个元素，无需排序，逆序对为0
if (n <= 1) {
return 0;
}
int mid = n / 2;
int[] l = new int[mid];
int[] r = new int[n - mid];
// 使用 System.arraycopy 提高效率
System.arraycopy(a, 0, l, 0, mid);
if (n - mid > 0) { // 确保右半部分有元素
System.arraycopy(a, mid, r, 0, n - mid);
}
// 递归计算左右子数组的逆序对，并累加
int inversions = 0;
inversions += mergeSortAndCountInversions 
