c++中如何实现动态规划背包问题_c++动态规划背包问题实现方法

动态规划解决0-1背包问题通过状态转移方程dpi=max(dpi-1, dpi-1]+value[i])避免重复计算，使用二维数组实现后可优化为一维数组，从后往前更新避免覆盖，空间复杂度由O(nW)降为O(W)，关键在于状态定义和逆序遍历。

动态规划解决背包问题在C++中非常常见，尤其适用于0-1背包、完全背包等场景。核心思想是通过状态转移方程避免重复计算，提升效率。下面以经典的0-1背包问题为例，介绍实现方法。

问题描述

定义状态与转移方程

• 若不选第i个物品：dp[i][w] = dp[i-1][w]
• 若选择第i个物品（前提是w ≥ weight[i]）：dp[i][w] = dp[i-1][w-weight[i]] + value[i]

dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-weight[i]] + value[i])

C++实现代码（二维数组版本）

#include 
#include 
using namespace std;
int knapsack(int n, int W, vector& weight, vector& value) {
vector> dp(n + 1, vector(W + 1, 0));
for (int i = 1; i zuojiankuohaophpcn= n; i++) {
    for (int w = 0; w zuojiankuohaophpcn= W; w++) {
        dp[i][w] = dp[i-1][w]; // 不选当前物品
        if (w youjiankuohaophpcn= weight[i-1]) {
            dp[i][w] = max(dp[i][w], dp[i-1][w - weight[i-1]] + value[i-1]);
        }
    }
}
return dp[n][W];
}

							

								
								

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int main() {
int n = 4, W = 8;
vector weight = {2, 3, 4, 5};
vector value = {3, 4, 5, 6};
cout zuojiankuohaophpcnzuojiankuohaophpcn "最大价值: " zuojiankuohaophpcnzuojiankuohaophpcn knapsack(n, W, weight, value) zuojiankuohaophpcnzuojiankuohaophpcn endl;
return 0;
}
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空间优化：一维数组实现
观察发现，dp[i][w]只依赖于dp[i-1][...]，因此可用一维数组滚动更新，从后往前遍历避免覆盖：
int knapsack_optimized(int n, int W, vector& weight, vector& value) {
    vector dp(W + 1, 0);
for (int i = 0; i zuojiankuohaophpcn n; i++) {
    for (int w = W; w youjiankuohaophpcn= weight[i]; w--) {
        dp[w] = max(dp[w], dp[w - weight[i]] + value[i]);
    }
}
return dp[W];
}
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这种方法将空间复杂度从O(nW)降到O(W)，是实际应用中的常用写法。
基本上就这些。掌握状态定义和逆序更新是一维优化的关键。