Java中处理全排列：模拟雇佣问题与概率计算的正确姿势

1. 引言：排列组合与概率计算

在计算机科学和算法设计中，我们经常需要处理数据的各种排列。一个典型的应用场景是模拟实验或计算概率。本教程将以一个经典的“雇佣问题”为例，展示如何生成一个集合的所有排列，并对每个排列应用特定的逻辑，最终计算出满足特定条件的排列所占的比例（即概率）。

问题的核心在于：给定一组按排名顺序的候选人（例如1到n），我们按随机顺序面试他们。每面试一个候选人，如果他比之前面试过的所有候选人都优秀（排名更低），我们就雇佣他。我们的目标是计算在所有可能的面试顺序（即所有排列）中，恰好雇佣了两次的概率。

原始代码尝试通过生成所有排列来解决此问题，但在将这些排列传递给核心的雇佣逻辑时，出现了一个常见的错误：将所有排列扁平化处理，导致无法对单个排列进行独立分析。

2. 核心组件与雇佣策略解析

为了理解并修正代码，我们首先分析其核心组件：

2.1 hireAssistant1 方法：模拟雇佣过程

这是模拟雇佣逻辑的关键方法。它接收一个 int[] 数组作为候选人序列（一个排列），并返回雇佣的次数。

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public static int hireAssistant1(int[] arr, int n) {
    ArrayList hired = new ArrayList();
    // 第一个候选人总是被雇佣
    int best = arr[0];
    hired.add(best);
    // 遍历后续候选人
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // 如果当前候选人比目前为止的最佳候选人更优秀（排名更低），则雇佣
        if (arr[i] < best) {
            best = arr[i];
            hired.add(best);
        }
    }
    return hired.size(); // 返回雇佣的总人数
}

该方法的核心思想是：始终雇佣第一个面试的候选人，之后只雇佣比当前已雇佣的最佳候选人更优秀的候选人。

2.2 permute 方法：生成所有排列

此方法及其辅助方法 permuteHelper 负责生成给定数组的所有可能排列。它返回一个 List>，其中每个内部 List 代表一个独立的排列。

public List> permute(int[] arr) {
    List> list = new ArrayList<>();
    permuteHelper(list, new ArrayList<>(), arr);
    return list;
}

private void permuteHelper(List> list, List resultList, int[] arr) {
    // 递归终止条件：当resultList的长度等于原始数组长度时，表示一个完整的排列已生成
    if (resultList.size() == arr.length) {
        list.add(new ArrayList<>(resultList)); // 将当前排列添加到结果列表中
    } else {
        // 遍历原始数组中的每个元素
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            // 如果当前元素已在resultList中，则跳过（避免重复）
            if (resultList.contains(arr[i])) {
                continue;
            }
            resultList.add(arr[i]); // 将元素添加到当前排列中
            permuteHelper(list, resultList, arr); // 递归调用
            resultList.remove(resultList.size() - 1); // 回溯：移除最后一个元素，尝试其他路径
        }
    }
}

2.3 辅助方法

• makeArray(int n): 创建一个包含 1 到 n 的有序数组。
• factorial(int n): 计算 n 的阶乘，用于确定总排列数。
• toIntArray(List list): 将 List 转换为 int[]。
• listToList(List> list): 这是一个有问题的辅助方法，它将 List> 扁平化为一个 List。

3. 原始代码的问题剖析：扁平化陷阱

原始 main 方法中的核心问题在于对 permute 方法返回结果的处理：

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public static void main(String[] args) {
    Assignment8 pa = new Assignment8();
    int n = 6;
    List> p = pa.permute(makeArray(n)); // p 包含所有独立的排列
    List list = listToList(p); // 错误：将所有排列扁平化为一个大列表
    System.out.println("N = 6");
    methodThreePerm(list, n); // 将扁平化列表传递给处理方法
}

这里的 listToList(p) 调用是问题的根源。例如，如果 n=3，permute 可能会返回 [[1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], ...]。经过 listToList 后，list 可能会变成 [1,2,3,1,3,2,2,1,3,...]。

随后，methodThreePerm 接收这个扁平化的 List，并将其转换为一个巨大的 int[] arr。当 hireAssistant1(arr, n) 被调用时，它会将这个巨大的数组当作一个单一的、长度为 n 的序列来处理，但实际上这个数组的长度远大于 n，且包含了多个排列的拼接。这导致 hireAssistant1 无法正确地模拟单个排列的雇佣过程，从而使最终的概率计算结果完全错误。

hireAssistant1 方法期望的输入是一个独立的排列（例如 [1,2,3] 或 [3,1,2]），而不是所有排列拼接在一起的巨大序列。

4. 解决方案：逐个排列处理

解决这个问题的关键在于，我们应该直接利用 permute 方法返回的 List> 结构，逐个遍历每个独立的排列，并对其应用 hireAssistant1 逻辑。

正确的处理流程如下：

1. 生成所有排列，得到 List>。
2. 初始化一个计数器 hiresTwoCount，用于统计雇佣次数恰好为2的排列数量。
3. 遍历 List> 中的每一个内部 List（即每一个独立的排列）。
4. 对于每一个独立的排列：
   • 将其转换为 int[] 数组。
   • 调用 hireAssistant1 方法，获取该排列的雇佣次数。
   • 如果雇佣次数等于2，则 hiresTwoCount 加1。
5. 计算最终概率：hiresTwoCount / factorial(n)。

5. 代码实现与验证

以下是修正后的 main 方法示例，它直接在 permute 的结果上进行迭代，确保每个排列都被正确处理：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.stream.Collectors; // For listToList, though it's removed in solution

public class PermutationHiring {

    // 辅助方法：创建包含1到n的数组
    public static int[] makeArray(int n) {
        int arr[] = new int[n];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            arr[i] = i + 1;
        }
        return arr;
    }

    // 雇佣模拟方法
    public static int hireAssistant1(int[] arr, int n) {
        // ArrayList hired = new ArrayList(); // 实际上不需要存储被雇佣者，只需计数
        int hires = 0;
        if (n == 0) return 0; // 空数组没有雇佣
        if (n == 1) return 1; // 只有一个候选人，必然雇佣一次

        int best = arr[0];
        hires = 1; // 第一个候选人总是被雇佣

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (arr[i] < best) {
                best = arr[i];
                hires++;
            }
        }
        return hires;
    }

    // 计算阶乘
    public static int factorial(int n) {
        if (n < 0) throw new IllegalArgumentException("Factorial is not defined for negative numbers.");
        if (n == 0 || n == 1) return 1;
        int result = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            result *= i;
        }
        return result;
    }

    // List 转换为 int[]
    static int[] toIntArray(List list) {
        int[] ret = new int[list.size()];
        for (int i = 0; i < ret.length; i++)
            ret[i] = list.get(i);
        return ret;
    }

    // 生成所有排列的核心逻辑
    public List> permute(int[] arr) {
        List> list = new ArrayList<>();
        permuteHelper(list, new ArrayList<>(), arr);
        return list;
    }

    private void permuteHelper(List> list, List resultList, int[] arr) {
        if (resultList.size() == arr.length) {
            list.add(new ArrayList<>(resultList));
        } else {
            for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
                if (resultList.contains(arr[i])) {
                    continue;
                }
                resultList.add(arr[i]);
                permuteHelper(list, resultList, arr);
                resultList.remove(resultList.size() - 1);
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        PermutationHiring ph = new PermutationHiring(); // 实例化类以调用非静态方法
        int n = 6;
        // 生成所有排列
        List> allPermutations = ph.permute(makeArray(n));

        int hiresTwoCount = 0; // 统计雇佣次数恰好为2的排列数
        int totalPermutations = factorial(n); // 总排列数

        // 遍历每一个独立的排列
        for (List permutation : allPermutations) {
            int[] currentPermutationArray = toIntArray(permutation);
            int hires = hireAssistant1(currentPermutationArray, n);
            if (hires == 2) {
                hiresTwoCount++;
            }
        }

        double probability = (double) hiresTwoCount / totalPermutations;
        System.out.println("N = " + n);
        System.out.println("雇佣次数恰好为2的排列数: " + hiresTwoCount);
        System.out.println("总排列数 (n!): " + totalPermutations);
        System.out.println("雇佣次数恰好为2的概率: " + probability);

        // 原始答案中提供的Method 1，用于计算不同的概率（例如，期望雇佣次数的某个变体）
        // 注意：这个方法计算的结果与“雇佣恰好两次”的概率不同。
        // static void methodOne