如何计算三维空间中圆与直线的最短距离？

求解三维空间中圆与直线最短距离

本文探讨如何在三维空间中计算圆与直线之间的最短距离。当圆和直线不共面时，简单的垂线法不再适用，需要更复杂的投影和计算方法。

已知条件如下：圆心O坐标为(0.3501, -0.0881, -4.8466)，法向量n为(0.4163, -0.8326, -0.3653)，半径r为1.34954；直线上两点A和B的坐标分别为(3.1932, -0.9005, 0.8082)和(1.9885, -0.9691, -0.8353)。 目标是找到圆上一点P，使其到直线AB的距离最短。

解题步骤：

invideo AI

InVideo 使用现成的模板简化视频创建

下载

1. 计算直线方向向量: 通过A和B两点坐标差计算直线的方向向量。
2. 计算直线法向量: 利用圆的法向量n和直线的方向向量，计算出直线AB的法向量，该法向量垂直于直线AB，并用于构建包含直线AB的平面。
3. 计算圆心在法平面上的投影: 将圆心O投影到包含直线AB的平面上，得到投影点O'。
4. 计算投影点到直线的距离: 在该平面上，计算投影点O'到直线AB的最短距离。
5. 计算点P坐标: 利用圆心O、半径r以及步骤4中计算出的最短距离，确定圆上距离直线最近的点P的坐标。

以下是用Python和NumPy实现的代码：

import numpy as np

# 已知条件
o = np.array([0.3501, -0.0881, -4.8466])  # 圆心
n = np.array([0.4163, -0.8326, -0.3653])  # 圆的法向量
r = 1.34954  # 圆的半径
a = np.array([3.1932, -0.9005, 0.8082])  # 直线上的点A
b = np.array([1.9885, -0.9691, -0.8353])  # 直线上的点B

# 计算直线方向向量
ab = b - a
ab_direction = ab / np.linalg.norm(ab)

# 计算直线法向量
normal_to_line = np.cross(n, ab_direction)
normal_to_line = normal_to_line / np.linalg.norm(normal_to_line)

# 计算圆心O在法平面上的投影
o_projected = o - np.dot(o - a, normal_to_line) * normal_to_line

# 计算投影点到直线的距离
t = np.dot(o_projected - a, ab_direction) / np.linalg.norm(ab_direction)**2
closest_point_on_line = a + t * ab_direction
shortest_distance = np.linalg.norm(o_projected - closest_point_on_line)

# 计算点P坐标 (近似解，因为点P可能不在O'与直线的连线上)
p_on_circle = o + (closest_point_on_line - o) * (r / np.linalg.norm(closest_point_on_line - o))


print("圆上离直线最近的点P的坐标:", p_on_circle)
print("圆与直线的最短距离:", shortest_distance)

这段代码提供了圆与直线最短距离的计算方法及Python实现。需要注意的是，代码中计算P点坐标的方法是一个近似解，因为P点不一定位于O'与直线最近点的连线上。 更精确的解法需要求解一个复杂的方程组。 但对于大多数应用场景，这个近似解已经足够精确。