曲线积分变量替换技巧详解
在计算曲线积分时，巧妙的变量替换往往能显著简化计算过程。本文将通过一个例子，详细讲解如何将积分$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$转化为$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$。
问题： 如何进行变量替换，将积分$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$转化为$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$? 直接使用极坐标替换并不能得到正确结果。
解答： 这里并非极坐标变换，而是简单的三角替换法。关键在于选择合适的替换变量。
观察被积函数$\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}$，注意到分母中的$1-y^2$与三角恒等式$\sin^2t + \cos^2t = 1$ 类似。因此，我们选择替换变量$y = \sin t$。
由于积分区间为$y \in (0, 1)$，则对应的$t$的区间为$t \in (0, \frac{\pi}{2})$。在这个区间内，$\sin t$和$\cos t$均为正数。
进行替换后，有：
$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\sqrt{1-\sin^2t}} d(\sin t)$
由于$d(\sin t) = \cos t dt$，且$\sqrt{1-\sin^2t} = \cos t$ (在$t \in (0, \frac{\pi}{2})$时)，则上式可化简为：
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\cos t} \cos t dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2t dt$
这样就完成了积分的转化。 关键在于正确计算$d(\sin t)$并利用三角恒等式化简表达式。 选择$y = \sin t$ 的替换正是基于对被积函数形式的观察和三角恒等式的运用。
