曲线积分化简方法
如何将曲线积分从直角坐标系转换为参数方程形式是一道常见问题。以下示例展示了如何使用变量代换方法实现此转换。
问题：
求解以下积分：
∫[0,1] (y² / √(1-y²)) dy
解答：
第一步：使用参数方程
将 y 表示为一个独立变量 t 的参数方程：y = sin(t)。
第二步：确定 t 的取值范围
由于 y 在 [0,1] 范围内，因此 t 在 [0,π/2] 范围内（因为 sin(π/2) = 1）。
第三步：变量代换
使用参数方程 dy/dt = cos(t)，将积分转换为关于 t 的积分：
∫[0,1] (y² / √(1-y²)) dy = ∫[0,π/2] (sin²(t) / √(1-sin²(t))) cos(t) dt
第四步：化简积分
利用三角恒等式 cos²(t) = 1 - sin²(t)，将积分化简为：
= ∫[0,π/2] sin²(t) dt
第五步：计算积分
计算剩余积分即可得到答案。
此例说明了如何使用变量代换方法将曲线积分化为更易于计算的形式。关键是要正确确定参数方程和 t 的取值范围，并利用三角恒等式进行化简。
