你是不是想这么写？

$('#btn').click(function() {

  var arr = [];

  $(':checked').each(function(){
    arr.push(this.value);
  });
})

直接输出那个选中的值就可以了，之前是你是输出的arr数组

$('#btn').click(function(){

                var arr = [];

                for(var i = 0;  i < $('.ckbox').length; i++) {
                 
                    if( $( $('.ckbox')[i] ).prop('checked') ) {
                        arr[i] = $( $('.ckbox')[i] ).val();
                        console.log($( $('.ckbox')[i] ).val())
                    }else{
                        console.log('false')
                    }
                };
            })

你的运行环境？
我本地Ubuntu Chromium Linux x86_64

arr[i] = $( $('.ckbox')[i] ).val();
这句改成 arr.push($('.ckbox').eq(i).val());
console.log(arr) 这句放到for循环的外面

使用push将数据添加到数组。
另外console在循环体里，会导致重复输出前面的内容，而且，感觉else并没有用处，可以去掉。