单射、满射与双射的关系 一文理清所有逻辑

单射要求不同输入对应不同输出，满射要求值域覆盖整个陪域，双射则是单射与满射的结合，实现一一对应且完全覆盖。

在学习集合与映射的过程中，单射、满射与双射是描述函数性质的核心概念。理解它们之间的区别与联系，有助于准确判断函数的对应关系。以下是关于这三种映射类型的详细解析：

一、单射：元素唯一对应

单射强调的是定义域中的不同元素在值域中不会映射到同一个像。换句话说，若两个输入不同，则其输出也必须不同。这种映射保证了“一对一”的特性，但不要求值域中的每一个元素都被覆盖。

1、设函数 f: A → B，若对于任意 x₁, x₂ ∈ A，当 x₁ ≠ x₂ 时，都有 f(x₁) ≠ f(x₂)，则称 f 为单射。

2、可以通过水平线测试来判断实数函数是否为单射：若任一水平线与函数图像至多相交一次，则该函数为单射。

3、例如函数 f(x) = 2x 是从实数集到实数集的单射，因为不同的 x 值产生不同的 f(x) 值。

单射的关键在于“没有重复的像”。

二、满射：值域完全覆盖

满射要求函数的值域等于其陪域，即陪域中的每一个元素都至少有一个定义域中的元素与之对应。这意味着函数“覆盖”了整个目标集合。

1、设函数 f: A → B，若对于任意 y ∈ B，都存在至少一个 x ∈ A，使得 f(x) = y，则称 f 为满射。

2、满射不要求对应的一一性，允许多个输入映射到同一个输出。

3、例如函数 f(x) = x³ 是从实数集到实数集的满射，因为每一个实数 y 都能找到一个实数 x 使得 x³ = y。

满射的关键在于“目标集合无遗漏”。

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三、双射：单射与满射的结合

双射是同时满足单射和满射的函数，即定义域与陪域之间存在一一对应关系。每个输入对应唯一的输出，且每个输出都有唯一的输入与之匹配。

1、设函数 f: A → B，若 f 既是单射又是满射，则称 f 为双射。

2、双射函数具有可逆性，即存在反函数 f⁻¹: B → A，使得 f⁻¹(f(x)) = x 且 f(f⁻¹(y)) = y。

3、例如函数 f(x) = x + 1 是从整数集到整数集的双射，因为它既无重复映射，又覆盖了所有整数。

双射的本质是“一一对应且完全覆盖”。

四、三者关系对比

通过集合间的映射图示可以更清晰地看出三者的差异。单射关注输入与输出之间的唯一性，满射关注输出是否穷尽目标集合，而双射则是两者的综合。

1、一个函数可以是单射而非满射，例如 f: ℕ → ℕ, f(x) = 2x，它是单射但不是满射，因为奇数没有原像。

2、一个函数可以是满射而非单射，例如 f: ℤ → ℕ ∪ {0}, f(x) = |x|，它是满射但不是单射，因为 x 和 -x 映射到同一值。

3、只有当函数同时满足单射和满射时，才是双射。

双射 = 单射 + 满射。

以上就是单射、满射与双射的关系 一文理清所有逻辑的详细内容，更多请关注php中文网其它相关文章！