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动态编程变得简单：带有 JavaScript 示例的初学者指南

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发布： 2024-09-18 08:06:02

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动态编程变得简单：带有 javascript 示例的初学者指南

通过 javascript 中的动态编程释放高效解决问题的能力。

介绍

您想提高编程中解决问题的能力吗？ 动态规划（dp）是一种强大的技术，可以帮助您高效地解决复杂问题。本初学者指南将通过 javascript 示例向您介绍动态编程，使其易于掌握并应用于实际场景。

您将学到什么：

动态规划的基本概念
记忆和制表之间的差异
如何用 javascript 实现 dp 并结合实例
识别 dp 问题并应用正确策略的技巧

什么是动态规划？

动态规划是一种优化技术，用于通过将问题分解为更简单的子问题来解决问题。当问题涉及重叠子问题和最优子结构时，它特别有用。

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关键概念

最优子结构：如果问题的最优解包含其子问题的最优解，则问题表现出最优子结构。
重叠子问题：问题可以分解为多次重复使用的子问题。

记忆与制表

动态编程可以通过两种方式实现：记忆（自上而下的方法）和制表（自下而上的方法）。

记忆（自上而下）

记忆化涉及存储昂贵的函数调用的结果，并在相同的输入再次发生时返回缓存的结果。

何时使用：

自然递归结构
需要避免冗余计算

javascript 示例：具有记忆功能的斐波那契数列

function fibmemo(n, memo = {}) {
    if (n <= 1) return n;
    if (memo[n]) return memo[n];
    memo[n] = fibmemo(n - 1, memo) + fibmemo(n - 2, memo);
    return memo[n];
}

// example usage:
console.log(fibmemo(10)); // output: 55

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制表（自下而上）

制表通过从基本情况开始迭代地填充表格（数组）来解决问题。

何时使用：

首选迭代方法
所有子问题都需要至少解决一次

javascript 示例：带有制表的斐波那契数列

function fibtab(n) {
    if (n <= 1) return n;
    const fibtable = [0, 1];
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        fibtable[i] = fibtable[i - 1] + fibtable[i - 2];
    }
    return fibtable[n];
}

// example usage:
console.log(fibtab(10)); // output: 55

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在 javascript 中实现动态编程

让我们探索如何应用动态编程来使用 javascript 解决实际问题。

1. 爬楼梯问题

问题陈述：

你正在爬一个有 n 级台阶的楼梯。您一次可以爬 1 或 2 级台阶。你可以通过多少种不同的方式登上顶峰？

具有记忆功能的动态编程解决方案：

function climbstairs(n, memo = {}) {
    if (n <= 2) return n;
    if (memo[n]) return memo[n];
    memo[n] = climbstairs(n - 1, memo) + climbstairs(n - 2, memo);
    return memo[n];
}

// example usage:
console.log(climbstairs(5)); // output: 8

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说明：

问题有重叠的子问题（多次计算climbstairs(n - 1) 和climbstairs(n - 2)）。
记忆化存储这些结果，减少冗余计算。

2. 硬币找零问题

问题陈述：

给定一系列硬币面额和总金额，找到达到该金额所需的最少硬币数量。

带制表的动态规划解决方案：

function coinchange(coins, amount) {
    const dp = array(amount + 1).fill(infinity);
    dp[0] = 0;
    for (let coin of coins) {
        for (let i = coin; i <= amount; i++) {
            dp[i] = math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
        }
    }
    return dp[amount] === infinity ? -1 : dp[amount];
}

// example usage:
console.log(coinchange([1, 2, 5], 11)); // output: 3

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说明：

我们建立一个表 dp，其中每个条目 dp[i] 代表数量 i 所需的最少硬币。
通过迭代更新dp，我们找到最优解。

认识动态规划问题

动态编程并不总是首选解决方案。以下是识别 dp 问题的方法：

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查看详情

最优子结构：问题能否分解为子问题，其解决方案会导致最优解？
重叠子问题：您是否多次解决同一个子问题？

常见 dp 问题类别：

斐波那契数列
爬楼梯
背包问题
最长公共子序列
矩阵链乘法

提示和最佳实践

从递归解决方案开始：在优化之前递归地理解问题。
清楚地定义状态：识别代表子问题状态的变量。
选择正确的方法：根据问题的性质在记忆和制表之间做出决定。
优化空间复杂性：尽可能通过仅存储必要的数据来减少空间使用。
使用小输入进行测试：使用小测试用例验证您的解决方案以确保正确性。

其他 javascript 示例

最长公共子序列 (lcs)

问题陈述：

给定两个字符串，找到它们的最长公共子序列的长度。

动态规划解决方案：

function lcs(str1, str2) {
    const m = str1.length;
    const n = str2.length;
    const dp = Array(m + 1).fill(null).map(() => Array(n + 1).fill(0));

    for (let i = 1; i <= m; i++) {
        for (let j = 1; j <= n; j++) {
            if (str1[i - 1] === str2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}

// Example Usage:
console.log(lcs("AGGTAB", "GXTXAYB")); // Output: 4

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